（1） 函数 \( f(x) = e^{x\sin x} \)，定义域为 \( (-\infty, +\infty) \)。

求导得 \( f'(x) = e^{x\cos x} \cdot (\cos x – x\sin x) \)。

当 \( x = 0 \) 时，\( f'(0) = 1 \)，\( f(0) = 1 \)，

所以 \( f(x) \) 在 \( (0,1) \) 处的切线方程为 \( y – 1 = x \)，即 \( x – y + 1 = 0 \)。

（2） 由 \( f(x) \leq e^{g(x)} \)，可得 \( x\cos x \leq g(x) \)，即 \( x\cos x \leq -x^3 – 3x\cos x + (a + 3)x \)。

– 当 \( x = 0 \) 时，\( 0 \leq 0 \) 成立，此时 \( a \in \mathbb{R} \)。

– 当 \( x \in (0,1] \) 时，化简得 \( -x^2 – 4\cos x + a + 3 \geq 0 \)，整理得 \( a \geq x^2 + 4\cos x – 3 \)。

设 \( h(x) = x^2 + 4\cos x – 3 \)，则 \( h'(x) = 2x – 4\sin x \)，\( h”(x) = 2 – 4\cos x \)。

因为 \( x \leq 1 < \frac{\pi}{3} (\approx 1.04) \)，所以 \( h''(x) < 0 \)，\( h'(x) \) 在 \( (0,1] \) 上单调递减，

故 \( h'(x) < h'(0) = 0 \)，\( h(x) \) 在 \( (0,1] \) 上单调递减，

所以 \( h(x) < h(0) = 1 \)，因此 \( a \geq 1 \)，即 \( a \in [1, +\infty) \)。

（3） 因为 \( n \in N^* \)，所以 \( \frac{2}{n} > 0 \)；又因为 \( n \geq 2 \)，所以 \( \frac{2}{n} \leq 1 \)，即 \( \frac{2}{n} \in (0,1] \)。

由（2）得 \( x^2 + 4\cos x – 3 \leq a \)，当 \( a = 1 \) 时，\( x^2 + 4\cos x – 3 \leq 1 \)，整理得 \( \cos x \leq 1 – \frac{x^2}{4} \)。

设 \( x = \frac{2}{n} \)，代入得 \( \cos\frac{2}{n} \leq 1 – \frac{1}{n^2} \)。

因为 \( \frac{1}{n^2} > \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \)，所以 \( -\frac{1}{n^2} < -\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \)，

因此 \( 1 – \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \)，故 \( \cos\frac{2}{n} \leq 1 - \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} \)，即 \( \cos\frac{2}{n} \leq 1 - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) \)。

两侧分别累加得：

\( \cos 1 + \cos\frac{2}{3} + \cos\frac{1}{2} + \cos\frac{2}{5} + \dots + \cos\frac{2}{n} \leq \)

\((n – 1) – \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{4} – \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{n} – \frac{1}{n + 1} \right) \)

\( \cos 1 + \cos\frac{2}{3} + \cos\frac{1}{2} + \cos\frac{2}{5} + \dots + \cos\frac{2}{n} \leq (n – 1) – \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{n + 1} \right) \)

\( \cos 1 + \cos\frac{2}{3} + \cos\frac{1}{2} + \cos\frac{2}{5} + \dots + \cos\frac{2}{n} \leq n – \frac{3}{2} + \frac{1}{n + 1} \)